Sebelumnya , penulis memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas semua berkah dan rahmat yang senantiasa diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan buku ini dengan baik dan lancar. Shalawat serta salam kita panjatkan pula terhadap nabi besar muhammad SAW.
Buku ini ditulis untuk melengkapi tugas dari mata kuliah Desain Pemodelan Grafik yang diajar oleh Pak Dr. Rer. Nat. I Made Wiryana, Skom, SSi, MappSc. Tujuan dari penulisan buku ini diharapkan, agar pembaca dapat memahami teori permodelan grafik ,perangkat lunak yang berkaitan dengan Joint Kernel Density Estimate.
Tujuan penulisan buku ini untuk melatih kami untuk memiliki knowledge, skill menulis, mendengar, berbicara, beragumen dan berdiskusi dengan kelompok, pencapaian dari tugas ini mahasiswa dapat memilki kemampuan teamwork yang dapat berguna di dalam dunia kerja. Pembahasan buku ini akan dimulai dari hal sederhana, yaitu pemahaman konsep visualisasi, instalasi software yang di butuhkan, bagaimana langkah atau cara yang diperlukan untuk instalasi software tersebut, contoh kasus software yang menggunakan teori joint kernel density estimate dalam pemodelan grafik.
Sebagai kata kata terakhir, penulis ucapkan terimakasih kepada semua pihak dan tempat yang telah memberikan kontribusi bantuan dan dukungan terhadap proses penulisan dan pencetakan buku ini
Semoga bermanfaat
Depok, Januari 2015
Penulis
Kupersembahkan buku ini untuk teman temanku tercinta; terimakasih atas usaha dan jerih payah atas pembuatan buku ini -Amalia Yuliantika
Kupersembahkan buku ini untuk pak made tercinta selaku dosen saya yang telah memberikan tugas penulisan buku ini, karena dengan tugas ini membuatku saya bertambah skill dalam penulisan dan teamwork dalam pengerjaan nya -Muhammad Ridho F
Kupersembahkan buku ini untuk kedua orangtuaku tersayang; terimakasih untuk semuanya dan doanya untuk selama ini dan untuk teman temanku semuanya terimakasih atas segala dukugannya -Muhammad Iqbal R
Kupersembahkan buku ini untuk orangtua atas semua pemberian yang diberikan; sangat membantuku dalam menjalani proses hidup dan juga untuk teman seperjuangan yang sudah berusaha dengan tekun dalam proses penulisan buku ini -Muhammad Aji P
BAB 1PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pengendalian kualitas sangat dibutuhkan dalam proses produksi guna menjaga kestabilan suatu produk. Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali (control chart). Mengingat karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal, maka dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik . Salah satunya adalah menggunakan estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation).
Dalam makalah sebelumnya telah dijelaskan tentang penerapan grafik pengendali berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel bivariat pada data bivariat karakteristik pH dan berat jenis sabun sirih (Pattihahuan et al., 2012). Selanjutnya, makalah ini akan membahas tentang bagaimana menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat untuk dua titik dan untuk data simulasi bivariat. Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan kernel untuk data simulasi bivariat dan mengidentifikasi titik sampel yang berada di luar grafik pengendali.
Pengendalian kualitas secara statistik dapat dilakukan dengan menggunakan grafik pengendali, Salah satunya adalah penggunaan grafik pengendali berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel. Data yang digunakan adalah dua titik sampel bivariat yaitu 2,11 x ,4,32 x dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran sampel (sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dari studi simulasi dapat dibangkitkan sampel dengan ukuran n berbeda- beda dan diperoleh hasil proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of significance).
Kernel estimasi adalah alat populer untuk memvisualisasikan distribusi data. Lihat Simono (1996), misalnya, untuk gambaran. Kernel multivarian estimasi ketika dianggap itu adalah biasanya dalam konteks dibatasi dengan diagonal matriks, misalnya bandwidth. dalam paket R BC (Bowman & Azzalini, 2007) dan KernSmooth (tongkat, 2006). Kami memperkenalkan baru R ks paket yang mengimplementasikan matriks diagonal dan tidak dibatasi data-driven bandwidth untuk kernel estimasi, yang juga dapat digunakan untuk analisis multivarian diskriminan kernel. Paket KS.sys mengimplementasikan penyeleksi untuk 1 - untuk 6-dimensi.
WHY USE KERNEL DENSITY ESTIMATE?
Seperti yang kita ketahui, histogram dapat secara visual frustasi dan menyesatkan, terutama ketika sampah atau midpoints tidak appropriatel y ukuran d atau ditempatkan (l s o dibahas dalam bagian teori karya ini). Perkiraan kepadatan kernel menyediakan garis halus untuk mengikuti; Namun-mirip dengan “ukuran bin” yang dapat mengubah distribusi data di histogram - bandwidth seleksi adalah bagian penting dari kernel kepadatan estima te. Namun, ada beberapa metode seleksi bandwidth otomatis tersedia di SAS \circledR
perangkat lunak; ini dibahas pada bagian berikutnya.
DASAR TEORI
Dasar teori yang dituliskan dalam makalah ini diambil dari makalah Pattihahuan et al. (2012) dan beberapa sumber seperti pada daftar pustaka.
Grafik Pengendali
Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990). Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.
Estimasi Fungsi Densitas Bivariat
Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB1).
Memahami bagaimana kernel estimasi bekerja membantu analis data yang menghasilkan histogram lebih efektif. Bagian ini berjalan melalui komponen dasar dan perhitungan untuk proses KDE yang disediakan oleh perangkat lunak SAS ®. Perkiraan kepadatan kernel KERNEL kepadatan memperkirakan adalah NONPARAMETRIC metode A yang adalah grafik nonparametric — berarti bahwa ia tidak memiliki fungsi kepekatan probabilitas yang mendasari (Yeh, Shi-Tao, 2004). Sebaliknya, itu diambil berdasarkan pada pengamatan data. Dengan kata lain, perkiraan kepadatan kernel yang tidak menggunakan regresi agar sesuai dengan garis data. Metode grafik lain akrab, nonparametric dalam perangkat lunak SAS ® termasuk pilihan HISTOGRAM dalam prosedur UNIVARIAT, BOXPLOT dan prosedur LOESS. Sebagai lawan untuk contoh-contoh di atas, parametrik regresi SAS ® software termasuk prosedur GLM, REG dan NLIN.
METODE PENELITIAN
Dalam penelitian ini digunakan langkah-langkah yang dijelaskan sebagai berikut:
• Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel
• Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal.
• Membuat grafik pengendali untuk data simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang out of control.
• Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=1000, n=1500 dan p=0.5.
• Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0.1, p=0.8.
B. RUMUSAN MASALAH
Dalam makalah ini dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel dan untuk banyaknya sampel dengan n yang berbeda-beda sehingga dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik-titik sampel yang out of control.
C.TUJUAN PENULISAN
Dengan Memilih tema dan Menyusun buku ini diharapkan agar para pembaca ,serta penulis sendiri mampu memahami apa itu Joint kernel Density Estimate serta teknik-teknik dalam meningkatkan pemahaman Joint Kernel Density Estimate. Sekaligus, buku ini dibuat untuk memenuhi tugas perkuliahan, yaitu Mata kuliah Desain Permodelan Grafik. Kami sebagai mahasiswa dari jurusan teknologi industry.
BAB II
Teori Tentang Konsep Visualisasi / Model Grafik
Estimasi densitas kernel
Dalam statistik, estimasi densitas kernel (KDE) adalah non-parametrik cara untuk memperkirakan dengan fungsi kepadatan probabilitas dari variabel acak. Estimasi densitas kernel adalah masalah penghalusan data mendasar di mana kesimpulan tentang populasi yang dibuat berdasarkan data yang terbatas sampel. Dalam beberapa bidang seperti pemrosesan sinyal dan ekonometrik itu juga disebut metode window Parzen-Rosenblatt, setelah Emanuel Parzen dan Murray Rosenblatt, yang biasanya dikreditkan dengan mandiri menciptakan itu dalam bentuk yang sekarang.
Gambar diatas: Estimasi densitas kernel dari 100 terdistribusi normal nomor acak menggunakan bandwidth smoothing yang berbeda.
Definisi
Biarkan (x 1, x 2, ..., x n) menjadi independen dan terdistribusi secara identik sampel yang diambil dari beberapa distribusi dengan tidak diketahui kepadatan f
. Kami tertarik dalam memperkirakan bentuk fungsi f
ini. Its kepadatan kernel estimator adalah
\overset{\mathcircumflex}{f}_{h}\left(x\right)=\frac{1}{n}\stackrel[i=1]{n}{\sum}K_{h}\left(x-x_{i}\right)=\frac{1}{nh}\stackrel[i=1]{n}{\sum}K\left(\frac{x-x_{i}}{h}\right),
dimana K (\bullet
) adalah kernel - fungsi non-negatif yang mengintegrasikan ke satu dan memiliki berarti nol - dan h> 0 adalah smoothing parameter yang disebut bandwidth. Sebuah kernel dengan subscript h disebut kernel skala dan didefinisikan sebagai K h (x) = 1 / h K (x / h). Intuitif seseorang ingin memilih h sekecil data memungkinkan, namun selalu ada trade-off antara bias estimator dan varians nya; lebih pada pilihan bandwidth bawah.
Berbagai fungsi kernel yang umum digunakan: seragam, segitiga, biweight, triweight, Epanechnikov, yang normal, dan lain-lain. The Epanechnikov kernel optimal dalam arti kesalahan berarti persegi, [3] meskipun hilangnya efisiensi kecil untuk kernel terdaftar sebelumnya, [4] dan karena sifat matematika yang strategis, kernel normal sering digunakan K (x) = \varphi
(x), di mana \varphi
adalah normal standar fungsi kepadatan.
Pembangunan perkiraan kepadatan kernel menemukan interpretasi dalam bidang luar estimasi kepadatan. [5] Sebagai contoh, dalam termodinamika, ini setara dengan jumlah panas yang dihasilkan ketika kernel panas (solusi mendasar untuk persamaan panas) ditempatkan pada setiap lokasi data titik x i. Metode serupa digunakan untuk membangun operator Laplace diskrit pada awan titik untuk belajar berjenis.
Estimasi densitas kernel yang erat kaitannya dengan histogram, tetapi dapat memiliki sifat-sifat seperti kehalusan atau kontinuitas dengan menggunakan kernel yang cocok. Untuk melihat ini, kita membandingkan pembangunan histogram dan kepadatan kernel estimator, menggunakan titik data 6 ini: x 1 = -2,1, x 2 = -1,3, x 3 = -0,4, x 4 = 1,9, x 5 = 5.1, x 6 = 6.2. Untuk histogram, pertama sumbu horisontal dibagi menjadi sub-interval atau sampah yang mencakup rentang data. Dalam hal ini, kami memiliki 6 tempat sampah masing-masing lebar 2. Setiap kali sebuah titik data berada di dalam interval ini, kami menempatkan kotak tinggi 12/1. Jika lebih dari satu titik data jatuh di dalam bin sama, kita tumpukan kotak di atas satu sama lain.
Untuk estimasi densitas kernel, kita menempatkan sebuah kernel normal dengan varians 2,25 (ditandai dengan garis putus-putus merah) pada masing-masing titik data x i. Kernel dijumlahkan untuk membuat estimasi densitas kernel (kurva biru solid). Kelancaran estimasi densitas kernel jelas dibandingkan dengan discreteness histogram, seperti perkiraan kepadatan kernel konvergen lebih cepat untuk kepadatan yang mendasari berlaku untuk variabel acak kontinu.
Perbandingan histogram (kiri) dan kepadatan kernel perkiraan (kanan) dibangun menggunakan data yang sama. 6 kernel individu merah putus-putus kurva, kepadatan kernel memperkirakan kurva biru. Titik data yang plot karpet pada sumbu horisontal.
Temukan Bandwidth
Kernel density perkiraan (KDE) dengan bandwidth yang berbeda dari sampel acak dari 100 poin dari distribusi normal standar. Grey: density benar (standar normal). Red: KDE dengan h = 0,05. Black: KDE dengan h = 0,337. Hijau: KDE dengan h = 2.
Bandwidth dari kernel adalah parameter bebas yang menunjukkan pengaruh yang kuat pada perkiraan yang dihasilkan. Untuk menggambarkan efeknya, kita mengambil simulasi sampel acak dari standar distribusi normal (diplot pada paku biru di petak karpet pada sumbu horizontal). Kurva abu-abu adalah densitas benar (kepadatan normal dengan mean 0 dan varians 1). Sebagai perbandingan, kurva merah undersmoothed karena mengandung terlalu banyak artefak Data palsu yang timbul dari menggunakan h bandwith = 0,05, yang terlalu kecil. Kurva hijau oversmoothed karena menggunakan bandwidth h = 2 mengaburkan banyak struktur dasar. Kurva hitam dengan bandwidth h = 0,337 dianggap optimal merapikan sejak estimasi densitas dekat dengan kepadatan yang benar.
Kriteria optimalitas yang paling umum digunakan untuk memilih parameter ini adalah yang diharapkan L_{2}
fungsi risiko, juga disebut berarti terintegrasi kesalahan kuadrat:
MISE\left(h\right)=E\int\left(\overset{\mathcircumflex}{f}_{h}\left(x\right)-f\left(x\right)\right)^{2}dx.
Di bawah asumsi lemah pada f
dan K, [1] [2] MISE (h) = AMISE (h) + o (1 / (nh) + h 4) di mana o adalah sedikit notasi o. AMISE adalah MISE Asymptotic yang terdiri dari dua istilah terkemuka
AMISE\left(h\right)=\frac{R\left(K\right)}{nh}+\frac{1}{4}m_{2}\left(K\right)^{2}h^{4}R\left(f^{\prime\prime}\right)
dimanaR\left(g\right)=\int g\left(x\right)^{2}dx
untuk fungsi g, m_{2}\left(K\right)=\int x^{2}K\left(x\right)dx
dan f^{\prime\prime}
adalah turunan kedua f
. Minimum AMISE ini adalah solusi untuk persamaan diferensial ini
\frac{\partial}{\partial h}AMISE\left(h\right)=-\frac{R\left(K\right)}{nh^{2}}+m_{2}\left(K\right)^{2}h^{3}R\left(f^{\prime\prime}\right)=0
atau
h_{AMISE}=\frac{R\left(K\right)^{1/5}}{m_{2}\left(K\right)^{2/5}R\left(f^{\prime\prime}\right)^{1/5}n^{1/5}}
Baik AMISE maupun formula h AMISE dapat digunakan secara langsung karena mereka melibatkan diketahui fungsi kepadatan f
atau turunan f
kedua '', sehingga berbagai, metode berbasis data otomatis telah dikembangkan untuk memilih bandwidth. Banyak penelitian tinjauan telah dilakukan untuk membandingkan efficacities mereka, [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] dengan konsensus umum bahwa plug-in pemilih yang [5] [14] dan validasi silang penyeleksi [15] [16] [17] yang paling berguna atas berbagai data set.
Mengganti setiap h bandwith yang memiliki urutan asimtotik yang sama \left(n^{-1/5}\right)
sebagai h AMISE ke AMISE memberikan yang AMISE (h) = O \left(n^{-4/5}\right)
, di mana O adalah notasi o besar. Hal ini dapat menunjukkan bahwa, di bawah asumsi yang lemah, tidak bisa eksis estimator non-parametrik yang menyatu pada tingkat yang lebih cepat daripada estimator kernel. [18] Perhatikan bahwa \left(n^{-4/5}\right)
tingkat lebih lambat dibandingkan dengan khas \left(n^{-1}\right)
konvergensi tingkat metode parametrik.
Jika bandwidth tidak diadakan tetap, tetapi bervariasi tergantung lokasi baik estimasi (balon estimator) atau sampel (pointwise estimator), ini menghasilkan metode sangat kuat disebut adaptif atau variabel estimasi kepadatan kernel bandwith.
Estimasi praktis bandwidth
Jika fungsi dasar Gaussian digunakan untuk mendekati univariat data, dan kepadatan yang mendasari yang diperkirakan adalah Gaussian maka dapat ditunjukkan bahwa pilihan optimal untuk h adalah [19]
h=\left(\frac{4\overset{\mathcircumflex}{\sigma^{5}}}{3n}\right)^{\frac{1}{5}}\thickapprox1.06\overset{\mathcircumflex}{\sigma}n^{-1/5},
dimana\overset{\mathcircumflex}{\sigma}
adalah standar deviasi dari sampel. Pendekatan ini disebut pendekatan normal distribusi, pendekatan Gaussian, atau Silverman aturan 's praktis.
Temukan bandwidth untuk estimasi kepadatan kernel distribusi berat ekor dikatakan relatif sulit.
Kaitannya dengan estimator densitas fungsi karakteristik
Mengingat sampel (x 1, x 2, ..., x n), adalah wajar untuk memperkirakan fungsi karakteristik \varphi
(t) = E \left[e^{ITX}\right]
sebagai
\overset{\mathcircumflex}{\varphi}\left(t\right)=\frac{1}{n}\stackrel[j=1]{n}{\sum}e^{itxj}
Mengetahui fungsi karakteristik, adalah mungkin untuk menemukan yang sesuai fungsi kepadatan probabilitas melalui Fourier transform rumus. Salah satu kesulitan dengan menerapkan rumus inversi ini adalah bahwa hal itu mengarah ke divergen terpisahkan, karena perkiraan \overset{\mathcircumflex}{\varphi}\left(t\right)
tidak dapat diandalkan untuk t besar 's. Untuk menghindari masalah ini, estimator \overset{\mathcircumflex}{\varphi}\left(t\right)
dikalikan dengan fungsi redaman \psi
h (t) = \psi
(ht), yang sama dengan 1 pada asal dan kemudian jatuh ke 0 di tak terhingga. The “parameter bandwidth” h kontrol seberapa cepat kita mencoba untuk meredam fungsi \overset{\mathcircumflex}{\varphi}\left(t\right)
. Khususnya ketika h kecil, maka \psi
h (t) akan menjadi sekitar satu untuk berbagai macam t 's, yang berarti bahwa \overset{\mathcircumflex}{\varphi}\left(t\right)
tetap praktis tidak berubah di wilayah yang paling penting dari t 's.
Pilihan yang paling umum untuk fungsi \psi
adalah baik fungsi seragam \psi
(t) = 1 \left\{ -1\leq t\leq1\right\}
, yang secara efektif berarti truncating interval integrasi dalam rumus inversi untuk [-1 / jam, 1 / h] , atau fungsi gaussian \psi
(t) = e^{-xt2}
. Setelah fungsi \psi
telah dipilih, rumus inversi dapat diterapkan, dan estimator densitas akan
\overset{\mathcircumflex}{f}\left(x\right)=\sideset{\frac{1}{2\pi}}{_{-\infty}^{+\infty}}\int\overset{\mathcircumflex}{\varphi}\left(t\right)\psi_{h}\left(t\right)e^{-itx}dt=\sideset{\frac{1}{2\pi}}{_{-\infty}^{+\infty}}\int\frac{1}{n}\stackrel[j=1]{n}{\sum}e^{it\left(x_{j}-x\right)}\psi\left(ht\right)dt
=\frac{1}{nh}\stackrel[j=1]{n}{\sum}\sideset{\frac{1}{2\pi}}{_{-\infty}^{+\infty}}\int e^{-i\left(ht\right)\frac{x-x_{j}}{h}}\psi\left(ht\right)d\left(ht\right)=\frac{1}{nh}\stackrel[j=1]{n}{\sum}K\left(\frac{x-x_{j}}{h}\right),
di mana K adalah Transformasi Fourier dari fungsi \psi
redaman. Dengan demikian estimator densitas kernel bertepatan dengan karakteristik kepadatan fungsi estimator.
BAB III
Perangkat Lunak
Definisi tentang MATLAB (Matrix Laboratory)
MATLAB atau yang kita sebut dengan (Matrix Laboratory) yaitu sebuah program untuk menganalisis dan mengkomputasi data numerik, dan MATLAB juga merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan, yang dibentuk dengan dasar pemikiran yang menggunakan sifat dan bentuk matriks.
Matlab yang merupakan singkatan dari Matrix Laboratory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork Inc. yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++.
Pengenalan dan program aplikasi MATLAB (Matrix Laboratory)
Pada awalnya program aplikasi MATLAB ini merupakan suatu interface untuk koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembangkan dengan menggunakan bahasa FORTRAN, namun sekarang ini MATLAB merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc.
Yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan dengan menggunakan bahasa C++ dan assembler, (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). MATLAB telah berkembang menjadi sebuah environment pemprograman yang canggih yang berisi fungsi-fungsi built-in untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan kalkulasi matematis lainnya. MATLAB juga menyediakan berbagai fungsi untuk menampilkan data, baik dalam bentuk dua dimensi maupun dalam bentuk tiga dimensi.
MATLAB juga bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk menambahkan pada library, ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila kita telah memiliki pengalaman dalam pemrograman bahasa lain seperti C, PASCAL, atau FORTRAN. (sumber; http://www.mathworks.com)
MATLAB (Matrix Laboratory) yang juga merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks, sering kita gunakan untuk teknik komputasi numerik, yang kita gunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi dll. Sehingga Matlab banyak digunakan pada :
• Matematika dan komputansi,
• Pengembangan dan algoritma,
• Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototipe,
• Analisa data , eksplorasi dan visualisasi,
• Analisis numerik dan statistik,
• Pengembangan aplikasi teknik.
Matlab juga merupakan bahasa pemrograman computer berbasis window dengan orientasi dasarnya adalah matrik, namun pada program ini tidak menutup kemungkinan untuk pengerjaan permasalahan non matrik. Selain itu matlab juga merupakan bahasa pemrograman yang berbasis pada obyek (OOP), namun disisi lain karena matlab bukanlah type compiler, maka program yang dihasilkan pada matlab tidak dapat berdiri sendiri.
Namun agar hasil program dapat berdiri sendiri maka harus dilakukan transfer pada bahasa pemrograman yang lain, misalnya C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan dalam operasinya yaitu ;
• Command windows (layar perintah)
• Figure windows (layar gambar),
• Note Pad (sebagai editor program).
Fungsi dari setiap window MATLAB
A. MATLAB Command window/editor
• MATLAB Command window/editor merupakan window yang muncul ketika kita membuka pertama kali setiap kita menjalankan aplikasi MATLAB,
• Pada window kita dapat melakukan akses-akses ke command-command MATLAB dengan cara mengetikkan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti mengakses help window dan lain-lainnya.
• Command Window (layar perintah) dapat kita gunakan untuk menjalankan program/perintah yang dibuat pada layar editor matlab. Pada windows/layar ini kita dapat mengakses perintah maupun komponen pendukung (help file dll) yang ada di matlab secara langsung. Salah satu cirri dari command windows ditandai dengan tanda prompt \left(\gg\right)
.
B. MATLAB Editor/Debugger (Editor M-File/Pencarian Kesalahan)
Window ini merupakan tool yang disediakan oleh Matlab 5 keatas. Berfungsi sebagai editor script Matlab (M-file). Walaupun sebenarnya script ini untuk pemrograman Matlab dapat saja menggunakan editor yang lain seperi notepad, wordpad bahkan word.
Untuk mengakses window m-file ini dapat kita lakukan dengan cara :
1. Memilih menu File - kemudian pilih New
2. Pilih m-file, maka MATLAB akan menampilkan editor window
selain dengan cara di atas untuk menampilkan editor M-file ini, kita dapat juga melakukanya dengan cara :
\gg edit
C. Figure Windows
Window ini merupakan hasil visualisasi dari script Matlab. Namun Matlab memberi kemudahan bagi programer untuk mengedit window ini sekaligus memberikan program khusus untuk itu. Sehingga window ini selain berfungsi sebagai visualisasi output dapat juga sekaligus menjadi media input yang interaktif.
D. MATLAB help window
MATLAB juga menyediakan sistem help yang dapat diakses dengan perintah help. Misalnya, untuk memperoleh informasi mengenai fungsi elfun yaitu fungsi untuk trigonometri, eksponensial, complex dan lain-lain, maka kita hanya perlu mengetikkan perintah berikut :
\gg
help elfun
dan kemudian menekan enter maka di layar akan muncul informasi dalam bentuk teks pada layar MATLAB yaitu : Elementary math functions.
Trigonometric.
• sin - Sine.
• sinh - Hyperbolic sine.
• asin - Inverse sine.
• asinh - Inverse hyperbolic sine.
• cos - Cosine.
• cosh - Hyperbolic cosine.
• acos - Inverse cosine.
• acosh - Inverse hyperbolic cosine.
• tan - Tangent.
• tanh - Hyperbolic tangent.
• atan - Inverse tangent.
• atan2 - Four quadrant inverse tangent.
• atanh - Inverse hyperbolic tangent.
• sec - Secant.
• sech - Hyperbolic secant.
• asec - Inverse secant.
• asech - Inverse hyperbolic secant.
• csc - Cosecant.
• csch - Hyperbolic cosecant.
• acsc - Inverse cosecant.
• acsch - Inverse hyperbolic cosecant.
• cot - Cotangent.
• coth - Hyperbolic cotangent.
• acot - Inverse cotangent.
• acoth - Inverse hyperbolic cotangent.
Exponential.
• exp - Exponential.
• log - Natural logarithm.
• log10 - Common (base 10) logarithm.
• log2 - Base 2 logarithm and dissect floating point number.
• pow2 - Base 2 power and scale floating point number.
• sqrt - Square root.
• nextpow2 - Next higher power of 2.
Complex.
• abs - Absolute value.
• angle - Phase angle.
• complex - Construct complex data from real and imaginary parts.
• conj - Complex conjugate.
• imag - Complex imaginary part.
• real - Complex real part.
• unwrap - Unwrap phase angle.
• isreal - True for real array.
• cplxpair - Sort numbers into complex conjugate pairs.
Rounding and remainder.
• fix - Round towards zero.
• floor - Round towards minus infinity.
• ceil - Round towards plus infinity.
• round - Round towards nearest integer.
• mod - Modulus (signed remainder after division).
• rem - Remainder after division.
• sign - Signum.
Selain help untuk informasi di atas dapat juga kita melihat informasi lainnya, misalnya perintah yang sangat berguna untuk mempelajari pemrograman MATLAB yaitu intro, yang membahas konsep-konsep dasar tentang bahasa MATLAB. Selain itu juga terdapat banyak program demonstrasi yang mengilustrasikan berbagai kapabilitas MATLAB, yang dapat dimulai dengan perintah demo.
Atau untuk lebih lengkapnya dapat kita lihat di tampilan MATLAB, dengan cara memilih menu Window kemudian pilih help window, dan untuk mengetahui informasi yang ada maka dapat dilakukan dengan mengclickan dua kali info yang ada di MATLAB Help Window, atau dengan mengetikkan informasi yang ingin didapatkan pada sudut sebelah kiri MATLAB Help Window.
Fungsi pengaturan file dalam MATLAB :
• dir / ls : Digunakan untuk melihat isi dari sebuah direktori aktif.
• cd : Digunakan untuk melakukan perpindahan dari direktori aktif.
• pwd : Digunakan untuk melihat direktori yang sedang aktif.
• mkdir : Digunakan untuk membuat sebuah direktori.
• what : Digunakan untuk melihat nama file m dalam direktori aktif.
• who : Digunakan untuk melihat variabel yang sedang aktif.
• whos : Digunakan untuk menampilkan nama setiap variabel.
• delete : Digunakan untuk menghapus file.
• clear : Digunakan untuk menghapus variabel.
• clc : Digunakan untuk membersihkan layar.
• doc : Digunakan untuk melihat dokumentasi The MathWorks, Inc. dalam format html secara online.
• demo : Digunakan untuk mencoba beberapa tampilan demo yang disediakan oleh Matlab.
Fungsi help plot di command window
• Function subplot digunakan untuk membuat suatu figure dapat memuat lebih dari satu gambar. Perintah sublot didefinisikan sebagai :
subplot(n,m,i)
Perintah tersebut membagi suatu figure menjadi suatu matriks m x n area grafik dan i, berfungsi sebagai indeks penomoran gambar. Subplot dinomori dari kiri ke kanan dimulai dari baris teratas.
• Function title digunakan untuk memberi judul pada gambar. Input dari perintah title berupa string. Syntax title sebagai berikut :
title('string')
• Function xlabel digunakan untuk memberi label sumbu pada sumbu x. Input dari perintah xlabel berupa string. Syntax xlabel sebagai berikut :
xlabel('string')
• Function ylabel digunakan untuk memberi label sumbu y. Input dari perintah ylabel berupa string. Syntax ylabel sebagai berikut :
ylabel('string')
• Function axis digunakan untuk mengatur nilai minimum dan maksimum dari sumbu x dan sumbu y , function axis didefinisikan sebagai :
axis([ xmin xmax ymin ymax ])
• Function grid digunakan untuk memberi grid pada gambar kita (sumber: http://dir.yahoo.com/science/mathematics/software/matlab)
Command Window = tempat syntax matlab ditulis dan dieksekusi
Command History = tempat penyimpanan syntax Matlab yang pernah dijalankan user
Workspace = tempat penyimpanan variable-variabel
Current Directory = Folder utama tempat penyimpanan M-files yang akan dijalankan
Syntax-syintax dasar Matlab :
Operasi Dasar Matematika
+ = tambah = penjumlahan
- = kurang = pengurangan
* = perkalian (vektor) = perkalian (vektor)
.* = perkalian (skalar) = perkalian (skalar)
/ = bagi = pembagian
^ = pangkat = perpangkatan
Fungsi syintax-syintax lainya:
>> eye(N) = matrix identitas NxN
>> inv(A) = invers matrix A
>> det(A) = determinan matrix A
>> A’ = transpose matrix A
>> Pi = phi = 3.14
>> exp(a) = e^a
>> sin(a) = sinus sudut a dalam rad
>> sinh(a) = fungsi hiperbolik sinus
>> log(a) = ln a
>> log2(a) = 2log a
>> log10(a) = 10log a
Ex :Membuat Persamaan Matriks:
>> [1 2 ; 3 4] =
Ex : Membuat Persamaan Quadrat
>> tf([a b],[c d e]) =
>> zpk([a -b],[-c d],k) =
Ex : Mencari Integral Fungsi
>> syms a b t = definisi variabel a, b, t
>> int(x) = integral fungsi x
>> int(x,t,a,b) =
Ex : Perintah Lain-lain
>> i=1:1:10 = membuat deret 1 s/d 10
>> max(A) = nilai max. pada matrix A
>> clear = clear workspace
>> clc = clear command window
>> help
Ex : Membuat Grafik
>> plot(a,b) = plot a (sb x) dan b (sb y)
>> figure = menambah figure baru
>> hold on = menimpa gambar lama
>> hold off = membersihkan figure
>> plot (x,y,’--rs’,’Linewidth’,2,’MarkerEdgeColor’,’k’,’MarkerFaceColor’,’g’, ’MarkerSize’,2)
artinya : -- garis putus-putus, r red, s square, tebal garis 2, warna garis kotak hitam, warna didalam kotak hijau, ukuran kotak 2.
BAB IV
Contoh Kasus Pemanfaatan Perangkat Lunak
CONTOH KASUS 1
Karena hari ini Valentine, Romi ingin mengajak Juli dinner di suatu restoran. Sebelum berangkat dinner, Romi berpikir akan membagi kebahagiaannya pada malam ini kepada pelayan restoran dengan memberikan uang tip. Dia akan memberikan uang tip sebesar 5-25% dari total belanjanya. Besarnya uang TIP akan dilihat dari tingkat PELAYANAN(service) dan kualitas MAKANAN (food) yang dihidangkan. Bantulah Romi untuk memutuskan besarnya uang tip yang akan diberikan kepada pelayan restoran, jika setelah menikmati hidangan dan fasilitas PELAYANAN Romi memberi nilai, sebagai berikut :
PELAYANAN = 7
MAKANAN = 8
Penilaian PELAYANAN dan MAKANAN berada pada rentang nilai 0-10. Ingat, kisaran uang tip adalah 5 - 25%.
Adapun aturan pemberian tip yg ditetapkan oleh Romi adalah sebagai berikut:
1. Jika PELAYANAN Jelek ATAU MAKANAN Tengik, maka TIP Murah
2. Jika PELAYANAN Sedang, maka TIP Standar
3. Jika PELAYANAN Bagus ATAU MAKANAN Lezat, maka TIP Mahal
Pembahasan:
Dapat kita simpulkan bahwa pasangan input-output dari kasus kita adalah sebagai berikut :
• INPUT: PELAYANAN (Jelek, Sedang, Bagus) dan MAKANAN (Tengik, Lezat)
• OUTPUT: TIP (Murah, Standar, Mahal)
Tahapan dalam desain fuzzy menggunakan bahasa pemrograman memiliki kemiripan dengan desain fuzzy menggunakan FIS Editor. Langkah awal adalah mendefinisikan apaa saja yang menjadi pasangan input dan output beserta fungsi keanggotaannya masing-masing. Pertama, kita buat nama file FIS kita. Langkah ini menggunakan sintaks newfis. FIS berarti Fuzzy Inference Systems. Misalkan saat ini kita beri nama projek kita DinnerForTwo.
a=newfis('DinnerForTwo');
Selanjutnya, definisikan input pertama kita, yaitu PELAYANAN, yang memiliki rentang antara 0 sampai 10. Gunakanlah sintaks addvar.
a=addvar(a,'input','PELAYANAN',[0 10]);
Tambahkan semua fungsi keanggotaan yang menyusun variabel input PELAYANAN. Misalkan kita beri nama jenis pelayanan berupa Jelek, Sedang, dan Bagus. Setiap fungsi keanggotaan harus dilengkapi dengan parameter pembentuknya. Karena berupa segitiga (trimf), maka wajib memiliki tiga input parameter, yaitu titik awal, puncak dan titik akhir. Untuk menambahkan fungsi keanggotaan (membership function), gunakanlah sintaks addmf.
a=addmf(a,'input',1,'Jelek','trimf',[-404]);
a=addmf(a,'input',1,'Sedang','trimf',[159]);
a=addmf(a,'input',1,'Bagus','trimf',[6 10 14]);
Untuk memastikan bagaimana bentuk dari input PELAYANAN dan masing-masing fungsi keanggotaannya, dapat kita plot dengan sintaks plotmf, sebagai berikut: plotmf(a,'input',1)
Hasilnya tampak seperti berikut:
Gambar 1. Fungsi Keaanggotaan Input PELAYANAN
Lakukan hal yang sama untuk variabel input kedua, yaitu MAKANAN. MAKANAN memiliki rentang yang sama dengan PELAYANAN, yaitu dari 0 sampai dengan 10. Khusus untuk MAKANAN, fungsi keanggotaan yang dibentuk menggunakan keanggotaan trapesium (trapmf). Input parameter yang digunakan sebanyak empat titik, yaitu titik awal, titik puncak pertama, titik puncak kedua, dan titik akhir. Logikanya sama persis dengan bagaimana menggambarkan sebuah segitiga, hanya parameternya yang berbeda.
a=addvar(a,'input','MAKANAN',[010]);
a=addmf(a,'input',2,'Tengik','trapmf',[0013]);
a=addmf(a,'input',2,'Lezat','trapmf',[7 9 10 10]);
Untuk melihat hasilnya, kita gunakan sintaks berikut: figure; plotmf(a,'input',2)
Gambar 2. Fungsi Keaanggotaan Input MAKANAN
Definisi input beserta fungsi keanggotaannya telah selesai. Sekarang, saatnya kita buat untuk fungsi output, yaitu TIP. Langkahnya mirip dengan definisi kedua input tadi.
a=addvar(a,'output','TIP',[030]);
a=addmf(a,'output',1,'Murah','trimf',[0510]);
a=addmf(a,'output',1,'Standar','trimf',[101520]);
a=addmf(a,'output',1,'Mahal','trimf',[20 25 30]);
Mari kita lihat hasilnya: figure; plotmf(a,'output',1)
Gambar 3. Fungsi Keaanggotaan output TIP
Setelah pasangan input-output terdefinisi, langkah selanjutnya adalah menyusun aturan-aturan yang berlaku dalam sistem fuzzy kita.Penulisan aturan ini perlu diperhatikan dengan baik.Sebab, penulisannya berupa matriks, dan kesalahan kecil dapat berakibat sistem tidak sesuai yang kita inginkan. Jika kita memiliki m input dan n output, maka matriks yang disusun harus memiliki kolom m+n+2. Sebagai contoh jika kita merujuk pada kasus kita, maka kita memiliki dua input (PELAYANAN dan MAKANAN), dan satu output (TIP). Dengan demikian, total kolom yang digunakan adalah 2+1+2 = 5. Nilai m kolom pertama mewakili indeks dari input kita. Contoh, jika input PELAYANAN memiliki anggota: Jelek, Sedang dan Bagus, maka indeks 1 mewakili jelek, indeks 2 mewakili Sedang, dan indeks 3 meakili Bagus. Nilai n kolom berikutnya adalah indeks dari output kita. Nilai kolom m+n+1 mewakilipembobotan dari aturan kita.Bobot ini memiliki nilai antara 0 - 1.Umumnya, nilai ini kita biarkan menjadi 1.Nilai kolomm+n+1 mewakili operator dalam aturan fuzzy. Nilai 1 akan mewakili logika AND, sedangkan nilai 2 mewakili OR.
Aturan1: Jika PELAYANAN Jelek ATAU MAKANAN Tengik, maka TIP Murah aturan1 = [1 1 1 1 2];
Aturan2: Jika PELAYANAN Sedang, maka TIP Standar aturan2 = [2 0 2 1 0]; %
Aturan3: Jika PELAYANAN Bagus ATAU MAKANAN Lezat, maka TIP Mahal aturan3 = [3 2 3 1 2];
gabungkan semua aturan tersebut dengan sintaks: listAturan = [aturan1;aturan2;aturan3]; a = addrule(a,listAturan);
Untuk memastikan apakah aturan kita telah benar, mari gunakan sintaks berikut yang dieksekusi melalui Command Window: >>showrule(a)
ans =
1.If (PELAYANAN is Jelek) or (MAKANAN is Tengik) then (TIP is Murah) (1)
2.If (PELAYANAN is Sedang) then (TIP is Standar) (1)
3. If (PELAYANAN is Bagus) or (MAKANAN is Lezat) then (TIP is Mahal) (1)
Sekarang, kita sudah di penghujung pemrograman kita. Pada langkah terakhir, kita akan melakukan evaluasi hasil akhir dari sistem fuzzy kita. Seperti yang telah kita ketahui bahwa nilai PELAYANAN = 7, dan MAKANAN = 8
gunakalah sintaks evalfis, sebagai berikut:
>> evalfis([7 8], a) ans = 19.9980
Nilainya sama dengan menggunakan penurunan matematis dan FIS Editor, yaitu sebesar 20%.
Berikut koding selengkapnya:
1. Buatlah variabel FIS a=newfis('DinnerForTwo');
2. Tambahkan input PELAYANAN a=addvar(a,'input','PELAYANAN',[0 10]);
3. Tambahkan fungsi keanggotaan PELAYANAN: Jelek, Sedang, Bagus
4. a=addmf(a,'input',1,'Jelek','trimf',[-4 0 4]);
5. a=addmf(a,'input',1,'Sedang','trimf',[1 5 9]);
6. a=addmf(a,'input',1,'Bagus','trimf',[6 10 14]);
7. plot input PELAYANAN utk melihat hasilnya plotmf(a,'input',1)
8. Tambahkan input MAKANAN
9. a=addvar(a,'input','MAKANAN',[0 10]);
10. Tambahkan fungsi keanggotaan MAKANAN: Tengik, Lezat
11. a=addmf(a,'input',2,'Tengik','trapmf',[0 0 1 3]);
12. a=addmf(a,'input',2,'Lezat','trapmf',[7 9 10 10]);
13. plot input MAKANAN utk melihat hasilnya figure; plotmf(a,'input',2)
14. Tambahkan output TIP
15. a=addvar(a,'output','TIP',[0 30]);
16. Tambahkan fungsi keanggotaan TIP: Murah, Standar, Mahal
17. a=addmf(a,'output',1,'Murah','trimf',[0 5 10]);
18. a=addmf(a,'output',1,'Standar','trimf',[10 15 20]);
19. a=addmf(a,'output',1,'Mahal','trimf',[20 25 30]);
20. plot output TIP utk melihat hasilnya figure; plotmf(a,'output',1)
21. Sekarang masukkan aturan-aturan
22. Aturan1: Jika PELAYANAN Jelek ATAU MAKANAN Tengik, maka TIP Murah
23. aturan1 = [1 1 1 1 2];
24. Aturan2: Jika PELAYANAN Sedang, maka TIP Standar
25. aturan2 = [2 0 2 1 0];
26. Aturan3: Jika PELAYANAN Bagus ATAU MAKANAN Lezat, maka TIP Mahal
27. aturan3 = [3 2 3 1 2];
28. Padukan semua aturan listAturan = [aturan1;aturan2;aturan3];
29. a = addrule(a,listAturan);
30. Perlihatkan aturan, apakah sudah sesuai?
31. showrule(a);
32. Lakukan evaluasi untuk PELAYANAN = 7 dan MAKANAN = 8
33. evalfis([7 8], a)
CONTOH KASUS 2
Pembahasan tentang logika fuzzy merupakan hal menarik bagi mereka yang ingin menyelesaikan permasalah suatu sistem yang sulit dimodelkan secara matematis.Bagi pemula belajar tentang logika fuzzy perlu adanya sebuah tool untuk dapat menerpakan logika tersebut.Salah satu tool yang mudah dan umum digunakan adalah dengan menggunakan Matlab Fuzzy Logic Toolbox.Pada aplikasi logika fuzzy menggunakan Matlab ini yang perlu dipahami adalah bagian-bagian yang ada pada logika fuzzy.Bagian tersebut adalah fuzzifikasi, rule evaluasi dan defuzzyfikasi.
Langkah-langkah untuk membuat logika fuzzy pada Matlab adalah :
1. Buka program Matlab, dan ketik pada command window >> fuzzy.
2. Instruksi tersebut akan menampilkan fuzzy toolbox, seperti gambar dibawah ini :
3. Pada langkah ini, tentukan jumlah input dari fuzzy toolbox, dalam hal ini akan digunakan 2 buah input, caranya adalah pilih menu Edit > Add Variable pilih Input.
4. Dalam kasus disini akan diambil, tentang sistem penerimaan karyawan dimana inputnya adalah hasil tes potensi akademik dan psikologi.
5. Letakkan kursor pada kotak input 1 dan double click pada kotak tersebut atau pilih Edit > Membership Functions.
6. Atur Input 1 Range = 0..100, untuk MBF 1 : Name = Rendah, Type = trapmf (trapesium membership function), params = [0 0 20 50]. MBF2 : Name = Sedang, Type = trimf (triangle membership function), params = [20 50 80]. MBF 3 Name =Tinggi, Type = trapmf , params = [50 80 100 100]. Detail hasilnya seperti gambar dibawah ini :
7. Klik kotak input 2 dan ulangi langkah no.6.
8. Klik kotak output untuk mengatur nilai membership functions pada output.
9. Atur Range = 0..100, untuk MBF 1 : Name = Ditolak, Type = trapmf , params = [0 0 20 40]. MBF2 : Name = Dipertimbangkan, Type = trapmf, params = [10 40 60 90]. MBF 3 Name = Diterima, Type = trapmf , params = [60 80 100 100]. Detail hasilnya seperti gambar dibawah ini :
10. Setelah semua mbf input maupun output diatur sesuai dengan kebutuhan maka pengaturan terakhir adalah bagian rule evaluasi atau aturan fuzzy, caranya pilih menu Edit > Rules, deatil caranya seperti gambar dibawah ini :
11. Pada contoh kasus untuk sistem penerimaan karyawan disini rule evaluasinya adalah seperti ditunjukkan gambar dibawah ini, untuk mendapatkan rule evaluasi seperti ini adalah dengan memilih pasangan rule evaluasi untuk pasangan input 1, input 2 dan output. Caranya adalah pilih input 1,input 2 dan output kemudian klik Add rule, apabila terjadi kesalahan pilih rule evaluasi kemudian klik Delete rule.
12. Setelah selesai semua, pilih menu View > Rule.
13. Hasil dari sistem yang dibangun menggunakan fuzzy dapat, pada contoh kasus penerimaan karyawan ini adalah seperti gambar dibawah ini. Apabila ingin melihat hasil output logika
fuzzy, makagaris merah pada input 1 dan input 2 dapat digeser yang otomatis nilai output akan berubahmengikuti nilai-nilai input tersebut.
Pada buku ini nilai range, nilai mbf, type mbf dan susunan rule evaluasi hanya sebuah contoh kasus untuk sistem penerimaan karyawan dari dua jenis test. Jika dibuat dalam bentuk sistem yang berbeda perlu adanya penyesuaian komponen yang membangun logika fuzzy tersebut. Aplikasi logika fuzzy dengan menggunakan Matlab Fuzzy Toolbox sangat membantu bagi mereka yang baru belajar.Logika fuzzy sebagai pemrosesan disini berguna untuk membantu tugas dari manusia dimana tugas yang dibangun menggunakan sistem ini terkadang sulit untuk dibuat model matematisnya. Pada prakteknya sistem logika fuzzy ini akan ditanamkan dalam sebuah mesin, mesin yang dimaksud disini adalah komputer. Padahal tidak semua mesin yang dipergunakan berwujud komputer, bisa jadi dalam bentuk smartphone, microcomputer, microcontroller dan embedded system yang lain.
Contoh soal
Kami mengambil ilustrasi sintetis bivariat set data 50 poin untuk menggambarkan pembangunan histogram. Ini membutuhkan pilihan titik anchor (sudut kiri bawah histogram grid). Untuk histogram di sebelah kiri, kita pilih (-1.5, -1.5): untuk yang di sebelah kanan, kita menggeser titik anchor oleh 0.125 di kedua arah ke (-1,625, -1,625). Kedua histogram memiliki binwidth 0,5, sehingga setiap perbedaan adalah karena perubahan titik anchor saja. Warna-coding menunjukkan jumlah titik data yang jatuh ke dalam bin: 0 = putih, 1 = kuning pucat, 2 = kuning cerah, 3 = orange, 4 = merah. Histogram meninggalkan tampaknya menunjukkan bahwa bagian atas memiliki kepadatan lebih tinggi dari bagian bawah, sedangkan itu adalah sebaliknya adalah kasus untuk histogram kanan, mengkonfirmasikan bahwa histogram sangat sensitif terhadap penempatan titik jangkar.
Perbandingan histogram 2D. Kiri. Histogram dengan anchor titik di (-1,5, -1,5). Kanan. Histogram dengan anchor titik di (-1,625, -1,625). Kedua histogram memiliki lebar bin 0,5, sehingga perbedaan penampilan dari dua histogram adalah karena penempatan titik anchor.
Salah satu solusi untuk anchor masalah penempatan titik ini adalah untuk menghapus histogram Binning jaringan sepenuhnya. Pada gambar sebelah kiri bawah, kernel (diwakili oleh garis-garis abu-abu) berpusat di masing-masing 50 poin data di atas. Hasil menjumlahkan kernel ini diberikan pada sosok yang tepat, yang merupakan estimasi densitas kernel. Perbedaan yang paling mencolok antara perkiraan kepadatan kernel dan histogram adalah bahwa mantan lebih mudah untuk menafsirkan karena mereka tidak mengandung artifices disebabkan oleh grid Binning. Kontur berwarna sesuai dengan wilayah terkecil yang berisi massa probabilitas masing: merah = 25%, orange + merah = 50%, kuning + orange + merah = 75%, yang mengindikasikan bahwa wilayah pusat tunggal mengandung kepadatan tertinggi.
Pembangunan estimasi densitas kernel 2D. Kiri. Kernel individu. Kanan. Kernel density perkiraan.
Tujuan dari estimasi kepadatan adalah untuk mengambil sampel terbatas data dan membuat kesimpulan tentang mendasari fungsi kepadatan probabilitas di mana-mana, termasuk di mana tidak ada data yang diamati. Dalam estimasi densitas kernel, kontribusi masing-masing titik data merapikan dari satu titik ke daerah ruang sekitarnya. Menggabungkan kontribusi merapikan individual memberikan gambaran keseluruhan dari struktur data dan fungsi densitasnya. Dalam rincian untuk mengikuti, kita menunjukkan bahwa pendekatan ini mengarah ke perkiraan yang wajar dari fungsi kepadatan yang mendasari.
Definisi
Angka sebelumnya adalah representasi grafis dari kepadatan kernel estimasi, yang sekarang kita mendefinisikan secara tepat. Biarkan x 1, x 2, ..., x n menjadi sampel dari d -variate vektor acak diambil dari distribusi yang umum dijelaskan oleh fungsi kepadatan f
. Estimasi densitas kernel didefinisikan sebagai
\overset{\mathcircumflex}{f}_{H}\left(X\right)=\frac{1}{n}\stackrel[i=1]{n}{\sum}K_{H}\left(x-x_{i}\right)
dimana
• x = (x 1, x 2, ..., x d)^{T}
, x i = (x i 1, x i 2, ..., x id)^{T}
, i = 1, 2, ..., n yang d -vectors;
• H adalah bandwidth (atau smoothing) d × d matriks yang simetris dan definit positif;
• K adalah kernel fungsi yang kepadatan multivariat simetris;
• K H (x) = | H | -1/2 K (H -1/2 x).
Pilihan fungsi kernel K tidak penting untuk keakuratan estimator densitas kernel, jadi kami menggunakan standar multivariat yang normal kernel seluruh: K\left(x\right)=\left(2\pi\right)^{-d/2}exp\left(-1/2x^{t}x\right)
di mana H memainkan peran matriks kovarians. Di sisi lain, pilihan bandwidth matriks H adalah faktor paling penting yang mempengaruhi akurasi sejak itu mengontrol jumlah dan orientasi Smoothing diinduksi. [5]: 36-39 Bahwa matriks bandwidth yang juga menginduksi orientasi adalah dasar Perbedaan antara estimasi densitas kernel multivariat dari analog univariat sejak orientasi tidak didefinisikan untuk 1D kernel. Hal ini menyebabkan pilihan dari parametrisation bandwidth matriks ini. Tiga kelas parametrisation utama (dalam rangka meningkatkan kompleksitas) adalah S, kelas skalar positif kali matriks identitas; D, matriks diagonal dengan entri positif pada diagonal utama; dan F, simetris matriks definit positif. Kernel kelas S memiliki jumlah yang sama dari smoothing diterapkan dalam semua arah koordinat, D kernel memungkinkan jumlah yang berbeda dari smoothing di setiap koordinat, dan F kernel memungkinkan jumlah sewenang-wenang dan orientasi smoothing tersebut. Historis S dan D kernel yang paling luas karena alasan komputasi, tetapi penelitian menunjukkan bahwa keuntungan penting dalam akurasi dapat diperoleh dengan menggunakan lebih umum kernel kelas F. [6] [7]
Perbandingan dari tiga kelas parametrisation bandwith matriks utama. Meninggalkan S. Kali skalar positif matriks identitas. Pusat. Matriks diagonal D dengan entri positif pada diagonal utama. Tepat. F simetris matriks definit positif.
Temukan bandwidth yang optimal matriks
Kriteria optimalitas yang paling umum digunakan untuk memilih matriks bandwidth MISE atau berarti terintegrasi kesalahan kuadrat MISE\left(H\right)=E\left[\int\left(\overset{\mathcircumflex}{f}_{H}\left(x\right)-f\left(x\right)\right)^{2}dx\right].
Ini pada umumnya tidak memiliki sebuah ekspresi bentuk tertutup, sehingga sangat biasa untuk menggunakan pendekatan asimtotik nya (AMISE) sebagai proxy
AMISE\left(H\right)=n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}R\left(K\right)+\frac{1}{4}m_{2}\left(K\right)^{2}\left(vec^{T}H\right)\varPsi_{4}\left(vecH\right)
dimana
• R (K) = \int
K \left(x\right)^{2}
dx, dengan R (K) = \left(4\pi\right)^{-d/2}
ketika K adalah kernel yang normal
• \int xx^{T}K\left(x\right)dx=m_{2}\left(K\right)I_{d}
dengan I_{d}
menjadi d x d matriks identistas, dengan m_{2}=
1 untuk kernel yang normal
• D^{2}f
adalah d × d Hessian matriks urutan kedua turunan parsial dari f
• \psi_{4}=\int\left(vecD^{2}f\left(x\right)\right)\left(vec^{T}D^{2}f\left(x\right)\right)dx
adalah d^{2}
x d^{2}
matriks agar keempat derivatif parsial terpadu f
• vec adalah operator vektor yang tumpukan kolom dari suatu matriks menjadi vektor tunggal misalnya vec\left[\begin{array}{cc}
a & c\\
b & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\end{array}\right]^{T}.
Kualitas pendekatan AMISE untuk MISE yang [5]: 97 diberikan oleh
MISE\left(H\right)=AMISE\left(H\right)+o\left(n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}+trH^{2}\right)
di mana o menunjukkan biasa notasi o kecil. Heuristik pernyataan ini menyiratkan bahwa AMISE adalah 'baik' pendekatan dari MISE sebagai ukuran sampel n \rightarrow\infty
.
Hal ini dapat ditunjukkan bahwa setiap bandwidth yang wajar pemilih H memiliki H = O (n^{-2/\left(d+4\right)}
)) dimana notasi O besar diterapkan elementwise. Mengganti ini ke dalam hasil rumus MISE bahwa MISE optimal adalah O (n^{-4/\left(d+4\right)}
)). [5]: 99-100 demikian sebagai n \rightarrow\infty
, MISE yang \rightarrow
0, yaitu estimasi kepadatan kernel konvergen di berarti persegi dan dengan demikian juga dalam probabilitas untuk benar kepadatan f
. Mode konvergensi adalah konfirmasi pernyataan di bagian motivasi bahwa metode kernel menyebabkan estimator densitas wajar. Pemilih bandwidth yang optimal ideal adalah
H_{AMISE}=argmin_{H\epsilon F}AMISE\left(H\right).
Sejak pemilih yang ideal ini berisi diketahui fungsi kepadatan ƒ, tidak dapat digunakan secara langsung. Banyak jenis yang berbeda dari berbasis bandwidth data pemilih timbul dari estimator berbeda AMISE tersebut. Kami berkonsentrasi pada dua kelas selektor yang telah terbukti menjadi yang paling banyak diterapkan dalam praktek: merapikan lintas validasi dan plug-in pemilih.
Plug-in
Plug-in (PI) perkiraan AMISE yang dibentuk dengan mengganti \varPsi_{4}
oleh estimator yang \varPsi_{4}
PI\left(H\right)=n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}R\left(K\right)+\frac{1}{4}m_{2}\left(K\right)^{2}\left(vec^{T}H\right)\varPsi_{4}\left(G\right)\left(vecH\right)
dimana \varPsi_{4}\left(G\right)=n^{-2}\stackrel[i=1]{n}{\sum}\stackrel[i=1]{n}{\sum}\left[\left(vecD^{2}\right)\left(vec^{T}D^{2}\right)\right]K_{G}\left(X_{i}-X_{j}\right)
demikian H_{PI}=argmin_{H\epsilon F}PI\left(H\right)
adalah plug-in pemilih. [8][9] referensi ini juga mengandung algoritma estimasi optimal dari matriks percontohan bandwith G dan menetapkan bahwa \overset{\mathcircumflex}{H}_{PI}
konvergen dalam probabilitas untuk H_{AMISE}
.
Merapikan lintas validasi
Merapikan lintas validasi (SCV) adalah bagian dari kelas yang lebih besar dari validasi silang teknik. The SCV estimator berbeda dari plug-in estimator dalam jangka kedua
SCV\left(H\right)=n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}R\left(K\right)+n^{-2}\stackrel[i=1]{n}{\sum}\stackrel[i=1]{n}{\sum}\left(K_{2H+2G}-2K_{H+2G}+K_{2G}\right)\left(X_{i}-X_{j}\right)
Demikian adalah pemilih \overset{\mathcircumflex}{H}_{SCV}=argmin_{H\epsilon F}SCV\left(H\right)
adalah pemilih SCV. [9] [10] referensi ini juga mengandung algoritma estimasi optimal dari matriks percontohan bandwith G dan menetapkan bahwa \overset{\mathcircumflex}{H}_{SCV}
konvergen dalam probabilitas untuk H_{AMISE}
.
Rule of thumb
Aturan Silverman praktis menyarankan menggunakan \sqrt{H_{ii}}=\left(\frac{4}{d+2}\right)^{\frac{1}{d+4}}n\frac{-1}{d+4}\sigma_{i}
dimana \sigma
adalah standar deviasi dari variabel i dan H_{ij}=0,i\neq j
. Aturan Scott adalah \sqrt{H_{ii}}=n\frac{-1}{d+4}\sigma_{i}
Analisis asymptotic
Pada bagian pilihan bandwidth yang optimal, kami memperkenalkan MISE tersebut. Pembangunannya bergantung pada nilai yang diharapkan dan varians dari estimator densitas [5]: 97
E\overset{\mathcircumflex}{f}\left(x;H\right)=K_{H}*f\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{1}{2}m_{2}\left(K\right)\int tr\left(HD^{2}f\left(x\right)\right)dx+O\left(trH^{2}\right)
dimana * adalah lilitan Operator antara dua fungsi dan
Var\overset{\mathcircumflex}{f}\left(x;H\right)=n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}R\left(K\right)+o\left(n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}\right).
Selama dua ekspresi ini harus didefinisikan dengan baik, kami mengharuskan semua elemen H cenderung 0 dan n^{-1}\mid H\mid^{-1/2}
cenderung 0 sebagai n cenderung tak terhingga. Dengan asumsi kedua kondisi ini, kita melihat bahwa nilai yang diharapkan cenderung kepadatan f benar yaitu estimator densitas kernel adalah asimtotik berisi; dan bahwa varians cenderung nol. Menggunakan standar berarti kuadrat dekomposisi nilai
MSE\overset{\mathcircumflex}{f}\left(x;H\right)=Var\overset{\mathcircumflex}{f}\left(x;H\right)+\left[E\overset{\mathcircumflex}{f}\left(x;H\right)-f\left(x\right)\right]^{2}
kita memiliki bahwa MSE cenderung 0, menyiratkan bahwa estimator densitas kernel (mean square) yang konsisten dan karenanya konvergen dalam probabilitas untuk benar kepadatan f. Tingkat konvergensi dari MSE untuk 0 adalah tentu sama dengan tingkat MISE dicatat sebelumnya O\left(n^{-4/\left(d+4\right)}\right)
maka tingkat covergence dari estimator densitas untuk f adalah O_{p}\left(n^{-2/\left(d+4\right)}\right)
di mana O p menunjukkan urutan probabilitas. Ini menetapkan konvergensi pointwise. The covergence fungsional didirikan sama dengan mempertimbangkan perilaku MISE, dan mencatat bahwa di bawah keteraturan yang cukup, integrasi tidak mempengaruhi tingkat konvergensi.
Untuk pemilih berbasis bandwidth-data yang dianggap, target adalah matriks bandwidth yang AMISE. Kami mengatakan bahwa pemilih berbasis data yang konvergen ke pemilih AMISE di relatif tingkat O_{p}\left(n^{-a}\right),a>0
jika
vec\left(\overset{\mathcircumflex}{H}-H_{AMISE}\right)=O\left(n^{-2a}\right)vecH_{AMISE}.
Telah ditetapkan bahwa plug-in dan merapikan penyeleksi lintas validasi (diberikan pilot bandwith G tunggal) baik berkumpul pada tingkat relatif O_{p}\left(n^{-2/\left(d+6\right)}\right)
[9] [11] yaitu, baik selektor berbasis data ini estimator konsisten.
Estimasi kepadatan dengan matriks bandwidth penuh
Old Faithful Geyser kernel Data kepadatan estimasi dengan plug-in bandwith matriks.
The ks paket [12] di R mengimplementasikan plug-in dan merapikan penyeleksi validasi silang (antara lain). Dataset ini (termasuk dalam distribusi dasar R) mengandung 272 catatan dengan dua pengukuran setiap: waktu durasi letusan (menit) dan waktu menunggu sampai letusan berikutnya (menit) dari Old Faithful Geyser di Yellowstone National Park, Amerika Serikat .
Kode fragmen menghitung estimasi kepadatan kernel dengan bandwidth matriks plug-in
\overset{\mathcircumflex}{H}_{PI}=\left[\begin{array}{cc}
0.052 & 0.510\\
0.510 & 8.882
\end{array}\right]
. Sekali lagi, kontur berwarna sesuai dengan wilayah terkecil yang berisi massa probabilitas masing: merah = 25%, orange + merah = 50%, kuning + orange + merah = 75%. Untuk menghitung pemilih SCV, H_{pi}
diganti dengan H_{SCV}
Ini tidak ditampilkan di sini karena sebagian besar mirip dengan plug-in estimasi untuk contoh ini.
perpustakaan (ks)
Data (setia)
H <- Hpi (x = setia)
fhat <- kde (x = setia, H = H)
plot (fhat, display = “filled.contour2”)
poin (setia, CEX = 0,5, pch = 16)
Estimasi kepadatan dengan bandwidth matriks diagonal
Kernel density estimasi dengan bandwidth yang diagonal untuk data campuran yang normal sintetik.
Kami mempertimbangkan memperkirakan kepadatan campuran Gaussian \left(4\pi\right)^{-1}
exp \left(-1/2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\right)+\left(4\pi\right)^{-1}
exp \left(-1/2\left(\left(x_{1-3,5}\right)^{2}+x_{2}^{2}\right)\right)
, dari 500 acak poin. Kami mempekerjakan rutin Matlab untuk Data 2-dimensi. Rutin ini merupakan metode seleksi bandwidth yang otomatis yang dirancang khusus untuk urutan kernel Gaussian kedua. [13] Angka ini menunjukkan estimasi kepadatan gabungan yang dihasilkan dari menggunakan bandwidth otomatis dipilih.
Matlab skrip misalnya -1/2,
Ketik perintah berikut di Matlab setelah men-download dan menyimpan kde2d.m fungsi dalam direktori saat ini.
jelas semua
% Menghasilkan data sintetik
Data = [randn (500, 2);
randn (500, 1) + 3.5, randn (500, 1);];
% Memanggil rutin, yang telah disimpan di direktori saat ini
[Bandwidth, kepadatan, X, Y] = kde2d (data);
% Plot data dan estimasi kerapatan
contour3 (X, Y, kepadatan, 50), berpegang pada
plot (data (:, 1), data (: '. r', 2),, 'MarkerSize', 5)
Kriteria optimalitas alternatif
MISE adalah diharapkan terintegrasi L_{2}
jarak antara estimasi kepadatan dan benar fungsi kepadatan f
. Ini adalah yang paling banyak digunakan, terutama karena tractability dan sebagian besar perangkat lunak menerapkan bandwidth yang selektor berbasis MISE. Ada kriteria optimalitas alternatif, yang mencoba untuk menutupi kasus-kasus dimana MISE bukan merupakan langkah yang tepat. [3]: 34-37,78 Setara L_{1}
ukuran, Kesalahan Berarti Terpadu Absolute, adalah
MIAE\left(H\right)=E\int\mid\overset{\mathcircumflex}{f}_{H}\left(x\right)-f\left(x\right)\mid dx.
Analisis matematis yang jauh lebih sulit daripada yang MISE. Dalam prakteknya, gain tampaknya tidak signifikan. [14] The L_{\infty}
norma adalah Mean Absolute Error Seragam
MUAE\left(H\right)=Esup_{x}\mid\overset{\mathcircumflex}{f}_{H}\left(x\right)-f\left(x\right)\mid.
yang telah diteliti hanya sebentar. [15] kriteria kesalahan Kemungkinan termasuk yang didasarkan pada Mean jarak Kullback-Leibler
MKL\left(H\right)=E\int\left(\overset{\mathcircumflex}{f}_{H}\left(x\right)^{1/2}-f\left(x\right)^{1/2}\right)^{2}dx.
KL dapat diperkirakan dengan menggunakan metode cross-validasi, meskipun KL cross-validasi pemilih dapat sub-optimal bahkan jika itu tetap konsisten untuk fungsi kepadatan terbatas. [16] MH penyeleksi telah diperiksa secara singkat dalam literatur. [17]
Semua kriteria optimalitas ini langkah-langkah jarak jauh, dan tidak selalu sesuai dengan pengertian yang lebih intuitif kedekatan, sehingga kriteria lebih visual telah dikembangkan dalam menanggapi keprihatinan ini. [18]
Bab 5
PENUTUP
Kesimpulan
• Kernel estimasi adalah alat populer untuk memvisualisasikan distribusi data. Misalnya, untuk gambaran. Kernel multivarian estimasi ketika dianggap itu adalah biasanya dalam konteks dibatasi dengan diagonal matriks, misalnya bandwidth. dalam paket R BC (Bowman & Azzalini, 2007) dan KernSmooth (tongkat, 2006). Kami memperkenalkan baru R ks paket yang mengimplementasikan matriks diagonal dan tidak dibatasi data-driven bandwidth untuk kernel estimasi, yang juga dapat digunakan untuk analisis multivarian diskriminan kernel. Paket KS.sys mengimplementasikan penyeleksi untuk 1 - untuk 6-dimensi.
• Dalam statistik, estimasi densitas kernel (KDE) adalah non-parametrik cara untuk memperkirakan dengan fungsi kepadatan probabilitas dari variabel acak. Estimasi densitas kernel adalah masalah penghalusan data mendasar di mana kesimpulan tentang populasi yang dibuat berdasarkan data yang terbatas sampel. Dalam beberapa bidang seperti pemrosesan sinyal dan ekonometrik itu juga disebut metode window Parzen-Rosenblatt, setelah Emanuel Parzen dan Murray Rosenblatt, yang biasanya dikreditkan dengan mandiri menciptakan itu dalam bentuk yang sekarang
• Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu.
• MATLAB atau yang kita sebut dengan (Matrix Laboratory) yaitu sebuah program untuk menganalisis dan mengkomputasi data numerik, dan MATLAB juga merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan, yang dibentuk dengan dasar pemikiran yang menggunakan sifat dan bentuk matriks.
• Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data.
• Grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat
• Karena Gaussians meluruh cepat sumber dalam kotak tertentu tidak akan berpengaruh (dalam hal ketepatan diinginkan) target relatif jauh dari sumber-sumber yang ada (dalam hal jarak skala σ standar deviasi). Oleh karena itu efek dari sumber-sumber dalam kotak tertentu perlu dihitung hanya untuk target di tutup kotak
Demikan yang dapat kami paparkan mengenai materi Joint Kernel Density Estimates yang menjadi pokok bahasan dalam buku ini, tentu masih banyak kekurangan dan kelemahan yang dapat ditemui didalam buku ini karena terbatasnya pengetahuan dari kami selaku penulis serta keterbatasan waktu yang diberikan oleh Dosen kepada kami untuk membuat buku ini lebih baik lagi.Penulis berharap para pembaca sudi memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya buku kami inidan penulisan buku di kesempatan berikutnya.Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya dan juga para pembaca pada umumnya.
Daftar Pustaka
https://books.google.co.id/books?id=VF5nXLvi_KUC&pg=PA132&dq=joint+kernel+density+estimation&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwjf5ujv3sbKAhVVC44KHeE7ARYQ6AEIGTAA#v=onepage&q=joint%20kernel%20density%20estimation&f=falsehttps://books.google.co.id/books?id=fycmsfkK6RQC&pg=PA611&dq=joint+kernel+density+estimation&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwjf5ujv3sbKAhVVC44KHeE7ARYQ6AEIIDAB#v=onepage&q=joint%20kernel%20density%20estimation&f=falsehttps://books.google.co.id/books?id=C_2zCgAAQBAJ&pg=PA308&dq=joint+kernel+density+estimation&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwiR5uOk4MbKAhXNco4KHXpUBO8Q6AEIUjAH#v=onepage&q=joint%20kernel%20density%20estimation&f=falsehttps://books.google.co.id/books?id=FzvNfkMjvPwC&pg=PA120&dq=joint+kernel+density+estimation&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwiR5uOk4MbKAhXNco4KHXpUBO8Q6AEIOjAE#v=onepage&q=joint%20kernel%20density%20estimation&f=falsehttps://books.google.co.id/books?id=ZiwLCAAAQBAJ&pg=PA189&dq=joint+kernel+density+estimation&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwiR5uOk4MbKAhXNco4KHXpUBO8Q6AEISjAG#v=onepage&q=joint%20kernel%20density%20estimation&f=falsehttps://books.google.co.id/books?id=C5oj8bPtW6UC&pg=PA39&dq=pengertian+matlab&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwjDgb_74MbKAhVXkI4KHVu6DFUQ6AEIIjAC#v=onepage&q=pengertian%20matlab&f=falsehttps://id.wikipedia.org/wiki/MATLABhttp://www.slideshare.net/vhieatietanic/modul-1-pengenalan-matlabhttp://tutorkeren.com/artikel/tutorial-pemrograman-logika-fuzzy-menggunakan-matlab.htmhttps://alvinburhani.wordpress.com/2014/05/25/aplikasi-logika-fuzzy-dengan-matlab/http://www.ics.uci.edu/~ihler/code/kde.htmlhttps://jakevdp.github.io/blog/2013/12/01/kernel-density-estimation/
Comments
Post a Comment